ЭКСПРЕСС-МЕТОД СОКРАЩЕНИЯ ПОТЕРЬ ВРЕМЕНИ НА ПЕРЕНАЛАДКИ ОБОРУДОВАНИЯ ПРИ СМЕНЕ АССОРТИМЕНТА ПРОДУКЦИИ (43-48)

Националь ная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20 43

Оценки потерь от простоев машин в единицу
времени равны s1 = 3 усл.ед., s2 = 5 усл. ед.
Требуется найти вариант рационал ьной
очередности выполнения работ с учетом двух
критериев (2) и (3), которые для лица,
принимающего решение, являются равноценными.
Следуя приведенным выше правилам,
сгенерируем варианты упорядочения работ.
Последовательность π10 получим, применив
алгорит м Джонсона для двух машин . Для этого
разделим множество работ на два подмножества J1
и J2 по правилу: J1 = { j: τ1j < τ 2j } и J2 = { j: τ1j ≥ τ 2j }.
Подмножество J1 упорядочим по возрастанию τ1j ,
подмножество J2 – по убыванию τ2j. Вначале
запускаются работы из J1, затем – из J2 [5]. В
результате получим последовательность π10 = < a,
b, c, d, e>, оптимальную по кри терию общего
времени выполнения всех работ на линии.
Последовательности π21 и π22 получим,
применив алгоритм, предложенный в [1],
поочередно к пер вой и второй машинам, используя,
соответственно, данные таблиц 2 и 3. Получим
следующие п оследовательности:
π21 = < a, b, e, d, c> и π22 =< e, d, c, b, a>.
Построив для каждой последовательности
диаграммы Гантта, определим для них значения
критериев T0(πq) и S0(πq). Полученные результаты
представлены в таблице 4.
Таблица 4.
Значения критериев для различных вариа нтов упорядочения работ
Последовательность Общее время выполнения работ Общее время переналадок
π10 39 26
π21 31 14
π22 36 14

Из этих послед овательностей только одна, а
именно, π21 является Парето -оптимальной (в
таблице выделена жирным шрифтом), так как она
доминирует по Парето две другие
последовательности.
Именно последовательность π21 может быть
принята, как искомое решение задачи.
Рассмот ренный пример носит
иллюстративный характер и не дает оснований для
вывода об абсолютной и относительной
эффе ктивности использованных методов. Для
этого требуются более основательные
статистические исследования. Здесь огранич имся
указанием н а результаты зн ачительного чис ла
расчетов, подтверждающих возможность
применения предложенного подхода для поиска
рациональн ых вариантов упорядочения работ при
решении задачи в производственных условиях.

Литература
1. Сошников А.В. Метод сокращения
организаци онных простоев оборудовани я при
смене ассортимента продукции // Вестник
СПГУПТД. Серия 3. Экономические,
гуманитарные и об щественные науки. – 2019. – №
4. – С. 3 –8.
2. Архипов А. В. Эвристические методы в
управлении производством: на материале
текстильной и легкой промышленности. – Л.: Изд -
во ЛГУ,1983. – 163 с.
3. Эвристические методы календарного
планирования / Подчасова Т. П., П ортугал В. М.,
Татаров В. А., Шкурба В. В. – К.: Техн iка, 1980. –
140 с.
4. Танаев В. С., Шкурба В. В. Введение в
теорию расписаний. – М. : «Наука», 1975. – 256 с.
5. Конвей Р. В., Максвелл В. Л., Миллер Л. В.
Теория расписаний. – М.: «Наука», 1975. – 360 с.
6. Поди новс кий В.В., Ногин В.Д. Парето -
оптимальные решения многокритериальных задач
– М.: Наука. – 1982. – 286 с.

УДК 658.512

ЭКСПРЕСС -МЕТ ОД СОКРАЩЕНИЯ ПОТЕРЬ ВРЕМЕНИ НА ПЕРЕНАЛАДКИ
ОБОРУДОВАНИЯ ПРИ СМЕНЕ АССОРТИМЕНТА ПРОДУКЦИИ

Сошников А.В.
Санкт -Петербу ргский г осударственный университет
промышленных технологий и дизайна

METHOD OF REDUCING ORGANIZATIONAL DOWNTIME OF EQUIPMENT WHEN CHANGI NG
THE PRODUCT RANGE

Soshnikov A.V.
St. Petersburg state University
industrial technology and design
DOI: 10.31618/nas.2413 -5291.2020.1.57.261

44 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20
АННОТАЦИЯ
Рассм атривается задача сок ращения непроизводительных потерь времени в многономенклатурных
производствах, связанных с необходимостью переналадок оборудования при смене ассортимента
продукции. Разработана модель характерной производственной ситуации в виде комбин аторной задачи
поиска цепи в полном ориентированном графе. Предложен эвристический метод решения задачи,
использующий ряд приемов, позволяющих существенно сократить объем перебора при поиске
приемлемого по критерию суммарной длительности переналадок вариан та очередности обрабо тки
разл ичных видов продукции. Приведены примеры, подтверждающие возможность применения метода для
решения данного типа задач в производственных условиях в оперативном режиме.
ABSTARCT
The problem of reducing unproductive time losses i n diversified industr ies associated with the need for
equipment changeovers when changing the product range is considered. A model of a typical production situation
is developed in the form of a combinatorial problem of finding a chain in a complete orient ed graph. A heuristic
method for solving the problem using a number of techniques that can significantly reduce the amount of search
in the search for an acceptable criterion for the total duration of changeovers version of the or der of processing of
diffe rent types of product s. Examples are given confirming the possibility of applying the method to solve this
type of problems in production conditions in the operational mode.
Ключевые слова : технологическое оборудование, затраты на переналадки, упорядочение работ ,
эвристический метод, быстродействие алгоритма.
Key words : technological equipment, the cost of conversi on, streamlining of work of the heuristic method,
the performance of the algorithm.

В статье рассматривается задача оперативного
определения оч ередности выполнения заданного
множества работ с использованием оборудования,
требующего переналадок при смене выполняемых
работ.
Рассмотрим следующую характерную для
многих производств задачу.
Имеется технологический аппарат, на котором
должны быть выпол нены n работ. Все раб оты
подготовлены к выполнению и могут быть
выполнены в любой очередности. При смене рабо т
затрачиваются ресурсы, объем которых зависит от
видов сменяющих друг друга работ. Примем для
определенности, что речь идет о затратах времени.
Но рмативные длительност и переналадок при
выполнении всех работ представляются в виде
квадратной
(n х n)-матрицы ϑ = {ϑ ij}, i,j = 1,…, n.
Очевидно, что длительности переналадок
представляют собой непроизводительные потери
рабочего времени, и суммарную величи ну этих
потерь желате льно свести к минимуму. Другими
словами, требуется найти такую очередность
выполне ния работ, при которой суммарные затраты
на переналадки аппарата минимальны.
Приведенная постановка задачи является
хорошо известной в теории производств енных
расписаний [3] -[6]. Ее моделью является задача
коммивояжера , относящаяся к классу
комбинаторных з адач дискретного
программирования, чаще всего формулируемая как
задача нахождения замкнутого (гамильтонова)
контура в конечном ориентированном графе.
Вер шины графа представля ют работы i (i =1,…, n) ,
а дуги (i →j) соответствуют отношению «j следует
за i». Задача относится к классу т. н. NP -трудных
задач в связи с экспоненциальным ростом числа
необходимых вычислительных операций при
увеличении размерности (ч исла вершин в графе)
[6]. Кроме трудоемкого метода полного перебора,
пригодного для решения любой конеч ной
комбинаторной задачи, разработаны различные
приближенные методы (в частности, метод «ветвей
и границ»), позволяющие оценить степень близости
найденно го контура к неизвест ному оптимальному
варианту. Приближенные методы нацелены на
сокращение объема пере бора, но, как правило, его
объем нельзя предсказать, что снижает
возможность применения метода в оперативных
условиях. По этой причине получили развитие
различные эвристическ ие методы (метод
ближайшей вершины, «жадные» алгоритмы и др.),
полностью исключающ ие или существенно
сокращающие объем перебора контуров за счет
потери возможности в конкретной задаче оценить
близость результата к оптимальному.
Эвристи ческие методы часто н е претендуют на
статус универсальных методов и показывают
приемлемую эффективность при выполнении
некоторых ограничений, отражающих
специфические условия конкретных производств.
В данной статье рассматривается задача
выбора очередности выполнения работ на
технологическом аппарате при наличии
переналадок, объем которых зависит от принято й
очередности. При этом предполагается, что не
требуется учитывать исходное и конечное
состояния аппарата; любая из работ может стать
начальной, и указан ы длительности перена ладок
для любой пары работ. В этом случае задаче
соответствует полный ориентирован ный граф, в
котором каждая пара вершин связана двумя
разнонаправленными дугами. Весами дуг являются
известные длительности соответствующих
переналадок. Т ребуется установить
ориентированную цепь (орцепь), проходящую по
одному разу через все вершины графа и имеющую
минимальный суммарный вес. При этом не
требуется замыкания цепи, что несколько упрощает
модель и отличает ее от классической постановки
задачи ко ммивояжера.

Националь ная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20 45
Заметим, что в производственных условиях
часто критичным является время поиска решения,
пр и этом уровень приемлемости найденного
варианта не формализован либо задается нечетко.
Для этих условий предлагается алгоритм, в основу
которого положены некоторые умозритель ные
соображения, позволяющие сократить объем
перебора вариантов упорядочения работ .
Итак, имеется множество работ, помеченных
номерами 1,…, n; задана квадратная (n х n)-матрица
длительностей переналадок ϑ = {ϑ ij}, i,j = 1,…, n.
Элемент ы главной диагонали ϑii пометим знаком ∞.
Граф задачи представим в виде матрицы смежности
R = { rij}, rij = 1 , если существует дуга (i →j). В силу
производственных особенностей граф является
полным и все элементы вне главной диагонали
матрицы смежности равн ы единице. Число дуг в
исходном графе и, соответственно, число единиц в
матрице смежности равно nc = n(n–1).
Поскольку по предположению граф является
полным, то в нем существует N = n! орцепей,
проходящих по одному разу через все вершины.
Число N чрезвыча йно быстро растет с у величением
n, так что, начиная с некоторого значения числа
вершин, делается н евозможным или
нерациональным выполнение полного перебора.
Предлагаемая процедура предусматривает
выполнение нескольких действий, направленных
на сокращение п еребора.
Наряду с мно жеством вершин графа данной
задачи, будем рассматривать множество дуг
D = {( i → j), i,j = 1,… n, i ≠ j}. Дугу (i → j) будем
также обозначать (i, j). Упорядочим дуги
произвольным образом и пронумеруем их в
принятом порядке. Для определен ности примем
порядок нумерации дуг в соответствии с таблицей

Дуга, (i→ j) (1→2) (2→1) (1→3) (3→1) ….. ((n-1)→ n) (n→( n-1))
Номер, p 1 2 3 4 ….. nc-1 nc

Если дуге (i→ j) присвоен номер (индекс) p, то
будем писать (i → j)p или (i, j)p. Сформируем
квадр атную (nc x nc)-матри цу S = { spq}, p, q = 1,…, nc,
которую назовем матрицей связи. Элементы
матрицы принимают следующие значения: spp = ∞ ;
spq =1 , p ≠ q, если дуги, соответствующие индексам
р и q, являются смежными, т. е. конечная вершина
дуги p совпадает с начальной вершиной д уги q.
Если spq = 1, то дуга p может быть соединена с дугой
q, т. е. обе дуги могут войти в искомую цепь. В
противном случае примем spq = 0. Значение spq = 1,
таким образом, «разрешает» соединение двух дуг,
соответствующих с троке и сто лбцу матрицы связи.
Следует также учесть, что при синтезе цепи не
требуется возвращаться в ранее включенные в цепь
вершины, что помечается нулевыми значениями
соответствующих элементов матрицы.
Используя принятые обозначения, можно
значение элем ента spq оп ределить так: spq = 1 , если
(i → j )p и (j → k)q , p, q = 1,2,… nc, p ≠ q, при этом i,
j, k =1,…, n, i ≠ j ≠ k.
Матрицу связи удобно использовать при
поочередном синтезе возможных цепей в графе:
начав синтез цепи с любой дуги, т. е., выбрав строку
p , выбир аем далее один из раз решенных столбцов,
например, с индексом q, образуя связку двух дуг.
Далее переходим к стро ке q и аналогичным образом
присоединяем к связке еще одну из разрешенных
дуг. Процедура заканчивается, когда в связке будут
соединены (n – 1) дуг . Процедура обеспечив ает
прохождение по одному разу всех вершин графа и
позволяет выявить все возможные цепи.
Приведем пример. Пусть выполнению
подлежат четыре работы ( n = 4 ). Матрица
длительностей переналадок (в условных единицах
времени) имеет вид:

Работы 1 2 3 4
1 ∞ 4 10 8
2 12 ∞ 3 6
3 2 12 ∞ 5
4 4 8 7 ∞

Построим матрицу связи для этой задачи.
Размерность матрицы 12 x 12 . Предварительно
опишем множество дуг и занумеруем их в
определенном порядке, который выберем
произвольно (см. таблицу).

Ду га, ( i , j ) Номер, p Дуга, ( i , j ) Номер, p Дуга, ( i , j ) Номер, p
(1,2) 1 (1,4) 5 (2,4) 9
(2,1) 2 (4,1) 6 (4,2) 10
(1,3) 3 (2,3) 7 (3,4) 11
(3,1) 4 (3,2) 8 (4,3) 12

Построим для этой задачи матрицу связи S
(напомним, что при фиксированной размер ности
расположение ед иниц в матрице зависит только от
принятого правила нумерации) . Поясним
заполнение только одной строки матрицы,
например, с номером p = 1.

46 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20
Элемент s11 = ∞ (соединять дугу с собой не
требуется); дуга (1,2) 1 может быть смежной с
дугами (2,1) 2, (2,3) 7, (2,4) 9. Но возврат в ранее
пройденные ве ршины запрещен, поэтому
устанавливаем следующие значения элементов s12
= 0; s17= 1; s19= 1. Все остальные элементы первой
строки s1k , k = 3,4,5,6,8,10,11,12 принимаем
равными нулю.
Аналогичным образом заполняем все строки
матрицы (см. таблицу). Заметим, что число единиц
в каждой строке и в каждом столбце равно (n – 2) и
в данном случае равно двум.

Номера дуг 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 ∞ 0 1 1
2 0 ∞ 1 1
3 ∞ 0 1 1
4 1 0 ∞ 1
5 ∞ 0 1 1
6 1 1 0 ∞
7 1 ∞ 0 1
8 1 0 ∞ 1
9 1 ∞ 0 1
10 1 1 0 ∞
11 1 1 ∞ 0
12 1 1 0 ∞

Незаполненные элементы таблицы имеют
нулевые значения.
Поясним процедуру генерирования ц епи.
Примем дугу 1 в качестве начальной. В первой
строке разрешены переходы к дуге 7 либо к дуге 9.
Примем переход 1→7 (связываем дуги 1 и 7). Далее
рассматриваем строку 7. из нее разрешены
переходы к дуге 4 либо к дуге 11 . Дуга 4 ведет к уже
пройденной в ершине и поэтому искл ючается.
Переходим к дуге 11 . Построение цепи завершено.
Она имеет вид:
(1→2), (2→3), (3→4). По матрице
длительностей переналадок устанавливаем
суммарно е значение этого показателя, равное 12
усл. ед. времени.
Организовав по той или и ной схеме
циклическую процедуру с проверкой ряда
очевидных условий, получим полный список всех
цепей, удовлетворяющих поставленным условиям.
Количество таких цепей равно в да нном случае 4!
= 24. Лучшая из них имеет длительность 11 усл. ед.
времени . Максима льная суммарная длите льность
переналадок равна 32 усл. ед. времени, средняя
величина показателя – 20,4 .
Рассмотренная процедура перебора является
одной из множества возможных . Все они
незначительно различаются по трудоемкости
выполнения. Предложенный вариа нт отличается
повышен ными возможностями регулирования
объема перебора, т. е. количества генерируемых и
анализируемых цепей.
Рассмотрим подход к сокращению объема
перебора.
Основная идея подхода заключается в
исключении из рассмотрения дуг, имеющих «вес»
(длительность перенала дки аппарата),
превышающий некоторый заранее заданный порог
ϑгр. При достаточно низком пороге количество
генерируемых цепей может быть существенно
сокращ ено. Но при этом, очевидно, появляется риск
отсечь «хорошие» варианты, а в худшем случае
вообще исключи ть возможность генерации цепи,
удовлетворяющей требованиям. Интуитивным
«обоснованием» применения такого приема
является ожидание, что при разумном порог е не все
цепи будут заблокированы, а только те из них,
которые включают дуги с вес ом, превышающим
порог . Также представляется очевидным, что
работоспособность и эффективность приема
зависит от размерности задачи и распределения
значений весов дуг. Оценки э ффективности могут
быть получены статистическими методами, как это
принято при исс ледовании приближенны х
алгоритмов, в том числе, построенных на
эвристических принципах [5], [6].
Так в рассмотренном выше примере, если
положить величину порога равной средне й
длительности переналадок ( 6,75 ), то исключаются
дуги с номерами 2, 3, 5, 8, 10, 12 . Объем перебора
сокращается вдвое, до 12 вариантов, и при этом, как
показывают расчеты, сохраняются цепи с
минимальной и близкой к ней длительностью.
Снижение порога до ве личины 4,9 сокращает объем
перебора до 8 вариантов и также сохраняет
варианты с бл изкой к оптимальной д лительностью
переналадок.
Некоторые дополнительные возможности
регулирования объема перебора появляются при
использовании вспомогательных характеристик,
рассчитываемых по исходной матрице
длительностей переналадок.
Введем следующие пар аметры:
- нижняя гран ица суммарной длительности
переналадок
Тmin = ∑ min {ϑij} – max {min (ϑij)}. (1)
i j i j
Формула представляет собой сумму n
минимальных значений элементов каждой строки
за вычетом наибольшего из них. Этим учитывается,

Националь ная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20 47
что длительность цепи образуется сумми рованием
(n – 1) слагаемых.
- верхняя граница суммарной длительности
переналадок
Тmax = ∑ max {ϑij} – min {max (ϑij)}. (2)
i j i j
- оценка среднего значения суммарной
длительности переналадок цепи
Тср = ϑср (n – 1). (3)
- средняя длительность одной о перации
переналадки
ϑср = ( ∑∑ ϑij )/ nc . (4)
i j
Приведенные параметры могут быть
использованы при организации процесса поиска
рационального варианта цепи. Рассмотрим одну из
возможных процедур.
Назначение приоритетов дуг по значе ниям их
весов (длител ьностей переналадок). Приоритет rp
дуги (i, j)p назначается по одному из правил:
а) rp = 1, если ϑ ij < ϑ ср; rp = 0, если ϑ ij ≥ ϑ ср;
б) rp = 1, если ϑ ij < ϑ гр1; rp = 0, если ϑ гр1 ≤ ϑij <
ϑгр2; rp = - 1, если ϑ гр2 ≤ ϑij < ϑ max ,
здесь о бозначены: ϑгр1, ϑ гр2 – произвольные
граничные значения, удовлетворяющие условиям
ϑmin < ϑгр1< ϑ гр2 < ϑ max ; ϑmin = min (ϑij), ϑ max = max (ϑij).
i,j i,j
Оба правила предусматривают на очередном
шаге для продолжения синтезируемой цепи среди
разрешенных дуг -пр етендентов выбирать д угу с
наибольшим приоритетом. Правила, таким
образом, направлены на преимущественное
использование дуг с меньшими значениями весов.
Приведенный выше пример можно рассматривать
как иллюстрацию применения «жесткого»
варианта правила а): дуги с малым (нулевым )
приоритетом полностью исключались из матрицы
связи S и не участвовали в синтезе цепей.
Остановка циклической процедуры перебора
вариантов при поиске приемлемой по суммарной
длительности переналадок цепи. Как было ранее
отмечено, в пр актической производст венной задаче
часто требование оперативности получения
результата доминирует над его близостью к
оптимальному. Этим оправдывается использование
различных эвристических процедур. В данном
случае в качестве критерия остановки поиска
пред лагается использовать попадание лучшего из
достигнутых значений суммарного веса цепи в
заранее заданный диапазон. Такой диапазон может
быть установлен по различным правилам. В
качестве примера приведем следующий способ:
диапазон возможных значений критерия
(суммарной длительно сти переналадок) [Тmin , Tmax
] с помощью значения Тср делится на два
поддиапазона: [Тmin , Tср ] и (Тср , Tmax ].
Процедура поиска останавливается, если
лучшая из синтезированных к текущему моменту
цепей имеет значение критерия, попад ающее в
первый поддиа пазон. Это правило является весьма
«мягким»: при значительной величине исходного
диапазона [Тmin , Tmax ] возможно быстрое
получение варианта с критерием, близким к
среднему, но далеким от минимально возможного.
Отметим, что, если исхо дный диапазон невелик ,
например,
(Tmax – Тmin ) < T0 ,где T0 – некоторое
положительное число, то в качестве искомого
решения может быть взят любой вариант цепи,
удовлетворяющий требованиям, и поиск проводить
нецелесообразно.
Вместо Tср может быть использо вано иное
значение Тгр (0 < Тгр к близости критерия к минимальному
ужесточается, что может отрицательно сказаться на
объеме перебора и, соответственно, времени
поиска.
Выше описаны принципиальные положения
предлагаемого эвр истического подхода и опущены
технические детали реализации алгоритма.
Одним из обязательных вопросов, связанных с
применением эвристиче ских методов, является
вопрос об их эффективности. При использовании
матриц весов с произвольными значениями
элементов з атруднительно установ ить
оптимальные варианты цепей и, соответственно,
оценить близость к ним найденных эвристических
решений. Удобным п риемом для проведения
тестирования алгоритма является формирование и
использование матриц специального вида, в
которых н аилучший вариант цепи является
очевидным. После этого задача с такой особой
матрицей решается с помощью тестируемого
алгоритма и получен ный с его помощью результат
сравнивается с известным оптимальным решением.
Серия таких расчетов дает основание для
стати стических выводов о к ачестве метода.
В качестве примера рассмотрим следующую (5
х 5) -матрицу длительностей переналадок ϑ.


Работы a b c d e
a ∞ 1 10 6 8
b 4 ∞ 1 5 12
c 15 10 ∞ 1 9
d 7 3 6 ∞ 1
e 5 9 7 11 ∞

48 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20
Значения, равные единице, присвоены
элементам, расположенны м над главной
диагональю, так, чтобы было очевидным, что
минимальной цепью является последовательность
дуг (a,b), ( b,c), ( c,d), ( d,e), для которой значение
критерия равно 4. Параметры матрицы ϑ и
принятые граничные значения для назначе ния
приоритетов дуг ϑгр и остановки поиска Тгр
представлены в таблице.

min( ϑij) max( ϑij) ϑср ϑгр Tmin Tmax Tср Tгр
1 15 6,55 6 4 55 26,2 10

В соответствии с предложенным методом из
рассмотрения исключены дуги с весом,
превышающим ϑгр . Это следующие 10 дуг : (a, c), (a,
e), (b, e), (c, a), (c, b), (c, e), (d, a),
(e, b),(e, c), (e, d). При выборе в качестве
начальной дуги (a,b) алгоритм сразу формирует
оптимальный вариант цепи с суммарной
длительностью 4 ед. Поиск может быть остановлен.
При выборе дуги (d, e) или (c, d) алгоритм
формирует варианты цепей с одинаковой
длительностью равной 8 ед. И в этих случаях
требования к решению выполнены. Если
ужесточить требования к объему поиска, например,
приняв Tгр = 7 , то оптимальное решение будет
найдено не боле е, чем с третьей попы тки.
При решении серии тестовых задач
размерностью до 10 работ бы ли получены
аналогичные результаты по эффективности метода.
Это позволяет рекомендовать его для применения в
производственных условиях при решении задач
оперативного пла нирования загрузки
технологических аппаратов с учетом
длительностей переналадок.

Литер атура
1. Архипов А. В. Эвристические методы в
управлении производством: на материале
текстильной и легкой промышленности. – Л.: Изд -
во ЛГУ,1983. – 163 с.
2. Андрейчиков А. В., Андрейчикова О .Н.
Системный анализ и синтез стратегических
решений в инноватике : Математические,
эвристические и интеллектуальные методы
системного анализа и синтеза инноваций. – М.:
ЛЕНАНД, 2015. – 306 с.
3. Танаев В. С., Шкурба В. В. Введение в
теорию расписаний. – М. : «Наука», 1975. – 256 с.
4. Конвей Р. В., Максвелл В. Л., Миллер Л. В.
Теория расписаний. – М.: «Наука», 1975. – 360 с.
5. Кристофидес Н. Теория графов.
Алгоритмический подход. Пер. с англ. -М.: Мир,
1978. – 432 с.
6. Рейнгольд Э., Нив ергельд Ю., Део Н.
Ко мбинаторные алгоритмы. Теория и практика.
Пер. с англ. - М.: Мир, 1980. - 476 с.

ОСОБЕННОСТИ КОМПЕНСАЦИИ РЕАКТИВНОЙ МОЩНОСТИ В
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СЕТЯХ И СИСТЕМАХ

Бабенко Владимир Владимирович
аспирант ,
Воронежский государственны й технический универс итет
Россия, г. Воронеж
Хайченко Илья Александрович
аспирант ,
Воронежский государственный технический университет
Россия, г. Воронеж
Нефедов Юрий Васильевич
аспирант ,
Воронежский государственный технический университет
Россия , г. Ворон еж

FEATURES OF REACT IVE POWER COMPENSATION IN ELECTRIC POWER
NETWORKS AND SYSTEMS

Babenko Vladimir Vladimirovich
aspirant,
Voroneh State Technical University
Russia, g. Voronezh
Haichenko Ilya Aleksandrovich
aspirant,
Voronezh State Technical University
Russia, g. Voronezh
Nefedov Yurij Vasilyevich
aspirant,
Voronezh State Technical University