МНОГОМЕТОДНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ И ПАРАМЕТРОВ (48-53)

48 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 54, 20 20
ФИЗИКО -МАТЕМА ТИЧЕСКИЕ НАУКИ

МНОГОМЕТОДНАЯ ОПТИМИ ЗАЦИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ И ПАРАМЕТРОВ

Александр Иванович Тятюшкин
доктор техн. наук, профессор
Институт динамики систем и теории управлени я СО РАН)
г. Иркутск

MULTI -METHOD OPTIMIZ ATION OF CONTROL FUNCTIONS AND PARAME TERS

Alexander Ivanovich Tyatyushkin
doctor tech. sciences, professor
Institute of System Dynamics and Control Theory SB RAS)
Irkutsk
DOI: 10.31618/nas.2413 -5291.2020.1.54.189
Аннотация
Рассматривается задача оптима льного управления с фазовыми ограничениями, содержащая
управ ляющие параметры как в правых частях управляемой системы, так и в начальных услов иях. Для
решения этой сложной задачи предлагается сначала редукция к задаче математического
программирования, а зат ем для поиска оптимальных значений параметров и управляющих функций -
применение м ногометодного алгоритма, состоящего из методов линеаризации , метода приведенного
градиента и метода спроектированного лагранжиана.
Abstract
An optimal control problem with phase constraints is considered, which contains control param eters both in
the righ t-hand sides of the controlled system and in the initial conditions. To solve this complex problem, it is
proposed first to reduce to a mathe matical programming problem, an d then to find the optimal parameter values
and control functi ons, we use a multi -me thod algorithm consisting of linearization methods, the reduced gradient
method, and the designed Lagrangian method.
Ключевые слова: численн ые методы; задача оптимального управления с параметрами; метод
приведенного градиента; модифиц ированная функция Лагр анжа; многометодная оптимизация.
Key words: numerical methods; optimal control problem with parameters; reduced gradient method;
modified Lagrange function; multi -method optimization.

1. ВВЕДЕНИЕ
При построении математической модели
сложного динамическог о процесса, а также при
создании систем с желаемыми свойствами и
поведением нередко используется
параметрический синтез управления в виде
функции известной структуры о т фазовых
координат, но с неизвестными значениями
параметров. Тогда проблема синтеза упра вления
сводится к задаче оптимизации процесса с
параметрами [1,2].
В инженерной практике из -за большой
трудоемкости расч етов на полной модели или
трудностей, связанных с ее технической
реализацией, часто возникает проблема понижения
порядка системы, описыв ающей динамический
процесс, с сохранением поведения некоторых
переменных состояния. Эта проблема так же, как и
ряд други х проблем из области моделирования и
идентифика ции динамических процессов, сводится
к задаче оптимизации параметро в. В данной статье
рас сматривается задача оптимального управления,
когда в правые части системы входят не только
параметры, но и управляющие ф ункции, а
начальные условия системы также завис ят от
параметров, выбором которых обеспечивается
оптимальная старто вая точка для траектор ии.
Заметим, что такая задача нередко возникает в
динамике полета летательных аппаратов.
Например, наличие в бортовом ко мпьютере
непилотируемого космического аппарата Буран
программы выбора оптимальной начальной точки
наряду с алгорит мами расчета оптимальн ой
траектории посадки обеспечило ему успешное и
точное приземление. Задачи оптимального
управления с параметрами в начал ьных условиях
возникают также при расчете наибо лее
эффективных маневров, обеспечивающих защиту
задней полусферы са молета от ракет класса «воздух
– воздух» [3,4]. При проектировании самолета
пятого поколения СУ -57 – мирового лидера по
маневренности - была р ешена целая серия задач
такого типа В монографи ях [5 -6], приведены
результаты большого числа численных
эксперимент ов, выполненных по мно гометодным
алгоритмам для других практических задач из
области энергетики, проектирования
робототехнических систем и кос мических
аппаратов.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
ОПТИМ АЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С
ПАРАМЕТРАМИ
Рассмотрим задачу оптимального упра вления
с фазовыми огра ничениями, когда правая часть
системы зависит не только от управлений, но и от
параметров.

Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 54, 2020 49
Пусть задан управляемый процесс с
управляющими параметрами как в правых ча стях
так и в начальных условиях
�̇= �(�,�,�,�),�(�)∈��,�(�)∈��,�∈�= [�0,�1],
�(�0)= ������(�),� ∈��,�∈�� (2.1)
с терминальными условиями
��(�)= ℎ�(�(�1))= 0,�= 1,�, (2.2)
и фазовыми ограничени ями
��(�,�)= ��(�(�),�)= 0,�∈�,�= 1,�. (2.3)
Управление и параметры стеснены следующими ограничениями:
��(�,�)= 0,�∈�,�= 1,�, (2.4)
�н(�)≤ �(�)≤ �в(�),�∈�, (2.5)
�н≤ �≤ �в,�н≤ � ≤ �в, (2.6)
где ��(�,�), �= 1,�, — непрерывно
дифференцируемые по � и кусочно -непр ерывные
по � функции; ������(�) — непрерывно
дифференцируемая вектор -функция. Относительно
функций, определяющих условия (2.1) –(2.3),
справедливы предположения, оговоренные ранее, к
которым добавляется также их непрерывная
дифференцируем ость по параметрам.
Требуется среди управлений и параметров,
удовлетворяющих ограничениям (2.4) –(2.6), найти
такие, которые обеспечивают выполнение условий
(2.3) для управляемого процесса (2. 1) и приводят
его в точку фазового п ространства, где с заданной
точностью будут выполн ены условия (2.2), а
функционал
�0(�)= ������(�(�1)) (2.7)
достигнет наименьшего значения.
Для построения аппроксимирующей задачи на
заданном интервале � вводи тся сетка
дискретизации с узлами �0, �1, , ������� так ими, что
�0= �0< �1< ⋯ < �������= �1. (2.8)
Эта сетка может быть и неравномерной.
Управляющие функции ��(�), �= 1,�, ищутся
только в узлах (2.8), а для получения
промежу точных значений ��(�), �= 1,�,
используется либо кус очно -постоянная
аппро ксимация
��(�)= ��(��)= ���,�∈[��,��+1],
либо кусочно -линейная
��(�)= [(��+1−�)��+(�−��)��+1]
(��+1−��) ,�∈[��,��+1]. (2.9)
Тогда конечномерная зада ча,
аппроксимирующая задачу (2.1) –(2.7), будет иметь
следующий вид:
�̇= �(�,�,�,�),�∈�= [�0,�1],�(�0)= ������(�),
ℎ�(�(�������))= 0,�= 1,�,
��(�(��),��)= 0,�= 1,�,�= 0,������,

50 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 54, 20 20
��(��,��)= 0, �= 1,�, �= 0,������, (2.10)
�н≤ �≤ �в, �н≤ � ≤ �в,
������(�(�������))→ ��� , ��н≤ ��≤ ��в,�= 0,������,
где
��н= �н(��), ��в= �в(��), �= 0,������.
Заметим , ч то в аппроксимирующей задаче
(2.10) управляемый процес с (2.1) остается
непр ерывным, а в процессе счета он с требуемой
точностью (достаточно высокой) моделируется
численным методом интегрирования.
3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ
АППРОСИМИРУЮЩЕЙ ЗАДАЧИ
3 . 1 . Л и н е а р и з а ц и я о г р а н и ч е н и й .
Р а с ч е т Я к о б и а н а .

Градиенты функциона лов ��(�), �= 0,�, с помощью функций ��(��,�,�,�)= = ��′(�)�(�,�,�) и
сопряженной системы
�̇�= −��(�,�,�)′��(�), ��(�1)= −��������(�(�1))
традиционно определяются по формулам:
���(�)= −���(��,�,�,�), �= 0,�.
Для каждого �∈� можно аналогично вычислить градиенты ��(�,�), �= 1,�:
���(�,�)= −�̄��(�������,�,�,�,������), �0≤ ������≤ �≤ �1,
где �̄�(�������,�,�,�,������)= �������′(�,������)�(�,�,������), �������(�,������), �= 1,� – решения сопряженной си стемы
��������(�,������)
������� = −��(�,�,������)
�� �������(�,������), ������∈[�0,�]
с краевыми условиями
�������(�,�)= −���(�(�))
�� , �= 1,�.

Линеаризуем ограничения в
аппроксимирую щей задаче. Матрица -якобиан
ли неаризованных ограничений составляется из
градиентов ���, �= 1,�, и ���(�), �= 1,�, �∈�.
Так как правые части и начальные условия системы
(2.1) зависят еще и от параметров, то необходимо
иметь также градие нты функционалов ��, �= 1,�,
и ��(�), �= 1,�, �∈�, по этим параметрам:
����(��,��,��)= −��(�0)′�������(��),�= 1,�,
����(��,��,��)= −∫ ��(�)′��(��,��,��,�)�� , �1�0 (2.11)
где ��(�) — решения сопряженной системы,
����(��,��,��,��)= −∫ �������(�)′��(��,��,��,�)�� ��
�0 , (2.12)
����(��,��,��,��)= −�������(�0)′������(��),�= 1,�,�= 1,������. (2.13)
Пусть теперь на �-й итерации внешнего метода
на сетке (2.8) найдено ��(��) и ему
соответствующее ��(��), �= 1,������.
Для расчета градиентов по управлению ����,
�= 1,�, систе ма (2.10) � раз интегрируется от �1
до �0 с разными начальными условиями. Попутно
вычисляются градиенты (2.11) с использованием
квадратурных формул для расчета интеграло в.
Далее ищутся градиенты функционалов ��(��),
�= 1,������, �= 1,�. Для этого нужно � раз решить

Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 54, 2020 51
задачу Коши для каждого узла сетки (2.8), т.е.
проинтегрировать систему �⋅������ раз в среднем на
половине отрезка �.
На полученных решениях вычисляю тся
компоненты градиентов ����, �= 1,�; ����(��),
�= 1,�, �= 1,������; с учетом аппроксимации
управления их значения равны
∫ ��(�)′��(��,���,��,�)��
��+1
��
— в случае кусочно -постоянной
аппроксимации и
1
��+1−��[∫ ��(�)′��(��,�̄�(�),��,�)(�−��−1)��
��
��−1 +
+∫ ��(�)′��(��,�̄�(�),��,�)(��+1−�)�� ��+1
�� ] (2.14)
— в случае кусочно -линейной аппроксимации
(2.9). При этом �̄�(�) вычисляется по формул е (2.9)
при ��= ���, ��+1= ��+1� .
Из полученных значений градиентов по
управлению ���, �= 1,�, и ���(�), �= 1,�, �∈�, и
вычисленных по форму лам (2.11) –(2.13)
градиентов по параметрам составляет ся матрица
коэффициен тов линеаризованных ограничений.
Вводя векторные обозначения для равенств (2.2) –(2.4), построим модифицированную фу нкцию
Лагранжа для задачи (2.1) –(2.7):
������= ������(�(�1))−��′[ℎ(�(�1))−ℎ̄������]+�
2[ℎ(�(�1))−ℎ̄������]′[ℎ(�(�1))−ℎ̄������]−
−∫ ��′(�)[�(�(�),�)−�̄������]��
�1
�0
+�
2∫ [�(�(�),�)−�̄������]′[�(�(�),�)−�̄������]��
�1
�0
−
−∫ ��(�)[�(�,�)−�̄������]�� �1�0 +�
2∫ [�(�,�)−�̄������]′[�(�,�)−�̄������]�� �1�0 , (2.15)
где ℎ̄������= ℎ(��(�1))+ℎ�(��(�1))�� (�1), �̄������= �(��(�),�)+��(��(�),�)�� (�),
�̄������= �(��(�),�)+��(��(�),�)�� (�), �� = �−��, �� = �−��.
Далее линеаризуем ограничения (2.2), (2.3) на �-м приближении:
��+∑ ����(��)′(��−���) �������=0 +����′(�−��)+����′(�−��)= 0, (2.16)
���+∑ [����(��)′(��−���)+����(��)′(�−��)+����(��)′(�−��)]
�
�=0
= 0,
�= 0,������. (2.17)
Здесь �= (�1,�2,…,��), �= (�1,�2,…,��).
Следовател ьно, имеем � ограничений (2.16) и
(������+1)� ограничений (2.17) , которые
представляю т собой явную форму (через �, �, �)
линеаризованных (ℎ������,��������) ограничений (2.2), (2.3),
причем вместо равенств (2.3), заданных для
каждого момента �∈�, имеем ������ равенств,
определенных в узлах сетки (2.8 ).
Линеаризуем так же условия (2.4):
�(��,��)+���(��,��)′(��−���)= 0, �= 0,������, (2.18)
где �= (�1,�2,…,��). Прямые ограничения на
управление и параметры остави м без изменений:
��н≤ ��≤ ��в,�= 1,������, (2.19)
��н≤ ��≤ ��в,�= 1,�,��н≤ ��≤ ��в,�= 1,�. (2.20)
Для минимизации функционала (2.15) при
линейных ограничениях (2.16) –(2.20) применяется
метод приведенн ого градиента [7]. Заметим, что
функци онал (2.15) предпо лагает использование

52 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 54, 20 20
исходной системы (2.1) для расчета траектории
{�(�1),�(�2),…,�(�������)} по заданным па раметрам �,
� и управлению �(�0), �(�1), , �(�������), т.е. полная
модель вспомогательной задачи описывае тся
соотношениями (2.1), (2.15) –(2.20).
3 . 2 . А л г о р и т м м е т о д а
с п р о е к т и р о в а н н о г о л а г р а н ж и а н а .
Рассмотрим теперь полный алгоритм решения
исходной задачи (2.1) –(2.6).
1. С заданным управлением ���, �= 0,������,
инт егрируется система (2.1), и в узлах сетк и (2.8)
запоминают ся точки фазовой траектории
���, �= 0,������. Здесь � — номер итерации (первый раз
�= 0).
На полученном решении линеаризуются
ограничения задачи (2.10) и строится
вспомогательная задача (2.15) –(2.20).
2. Методом приведенного градиен та решается
вспом огательная задача минимизации
модифицированной функции Лагранжа (2.15) при
линейных ограничениях (2.16) –(2.20).
В результате будут найдены новые
приближения для управления ���+1, �= 0,������,
параметров ��+1 и ��+1, а также для двойственных
переменных ��+1 и ���+1, �= 0,������.
3. Проверяется критерий окончания
итерационного процесса как по прямым, так и по
двойственным переменным:
|��(��+1,��+1,��+1)|
(1+�������+1) ≤ �,�= 1,�,
|��(��+1,��+1,��+1)|
(1+�������+1) ≤ �,�= 1,�,
где
��+1= ��� {‖���+1‖,�= 0,������;|��|,�= 1,�;|��|,�= 1,�};
|���−���+1|
(1+�������+1)≤ �,�= 1,�;
|����−����+1|
(1+�������+1)≤ �,�= 1,�,�= 0,������;
�������+1= ��� {|���+1|,�= 1,�;|����+1|,�= 1,�,�= 0,������}.

При нарушении хотя бы одного из этих
условий выполняется новая �+1-я итерация с п. 1.
Если же эти неравенства в ыполняются для
заданного �> 0, то итер ационный процесс
прекращается, а найденные ���+1, �= 0,������, ��+1 и
��+1 выдаются в качестве приближенного решения
задачи оптимального управления.
З А К Л Ю Ч Е Н И Е
Изложенные в данной статье численные
метод ы оптимизации параметров и управляющих
функций конструкт ивно учитывают фазовые
ограничения путем применения эффективных
алг оритмов линейного [8] и нелинейного
программирования [7] для решения
вспомогательных задач большой размерности.
Современные информаци онные технологии и
многопроцессорная в ычислительная техн ика
допускают достаточно эффективную реализацию
сложных алгоритмов, например, путем применения
параллельных вычислений [9]. Программное
обеспечение, разработанное на основе данного
подхода и реализующ ее многометодную
технологию [6] расчет а оптимального упр авления и
оптимальных параметров, успешно применяется
для решения с ложных прикладных задач
оптимального управления из различных областей
науки и техники [3 -6].
Список литературы
1. Понтрягин Л.С., Болтя нский В.Н.,
Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математиче ская
теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1969.
2. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Качественная
теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1971.
3. Тятюшкин А.И., Федунов Б.Е. Численное
исследование свойств оптимального управления в
одной задаче преследования. Изв . РАН, ТиСУ.
2005. № 3. С. 104 -113.
4. Тятюшкин А.И., Федунов Б.Е.
Возможности защиты от атакующей ракеты задней
полусферы самолета вертикальным маневром. Изв.
РАН, ТиСУ. 2006. № 1. С. 111 -125.
5. Тятюшки н А.И. Численные методы и
программные средства оптими заци и управляемых
систем. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд -ние, 1992.
6. Тятюшкин А.И. Многометодная
технология оптимизации управляемых систем. —
Новосибирск: Наука, 2006.
7. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М.
Практи ческая оптимизация. – М.: Мир, 1985.
8. Габасов Р., Кири ллов а Ф.М.,
Тятюшкин А.И. Конструктивные методы

Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 54, 2020 53
оптимизации. Ч. 1: Линейные задачи. – Минск:
Университетское, 1984.
9. Тятюшкин А.И. Параллельные вычисления
в задачах оптимального управления //Сиб. журн.
вычисл. математики. 2000. Т. 3, № 2. С. 181 -190.

ДИСПЕРС ИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОТ ЕНЦИАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИОНО -
МАГНИТОСФЕРЫ, ПОМЕЩЕ ННОЙ В ПОСТОЯННОЕ МА ГНИТНОЕ И СВЧ -
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Шестакова Ольга Владимиров на
Кандидат технических наук, доцент
МАИ (нацио нальный исследовательский университет )
Москва

DISPERSION EQUA TIONS OF POTENTIAL O SCILLATIONS OF THE I ON -MAGNETOSPHERE,
PLACED IN A PERMANEN T MAGNETIC AND MICRO WAVE ELECTRIC FIELD

Shestakova Olga Vladimirovna
Candidate of technical Sciences, assoc iate Professor
MAI (national research University),
Moscow
DOI: 10.31618/nas. 2413 -5291.2020.1.54.188
Аннотация
В данной статье приводится теоретическое обоснование дисперсионного уравнения потенциальных
колебаний ионо -магнитосферы. Это уравнение необходимо для решения актуальной научно -технической
задачи по разработке вероятностно -статистического метода моделировани я явлений переноса в
многокомпонентной, помещенной СВЧ -электрической поле.
Abstract
This article provides a theoretical justification for the disper sion equation of the potential vibrati ons of the
ion -magnetosphere. This equation is necessary for solving t he urgent scientific and technical problem of
developing a probabilistic -statistical method for modeling transport phenomena in a multicompone nt, pl aced
microwave electric field.
Ключевы е слова: ионо -магнитосфера, параметры ионо -магнитосферы, радиолокацион ный импульс,
авроральные неоднородности.
Keywords: ion -magnetosphere, state ion -magnetosphere parameters, radar pulse, auroral inhomogeneities .

Рас ширение масштабов задач, решаемых
обес печивающими космическими системами, а
также перспективные планы широк омасштабного
использования космоса для размещения ударных
систем, решающих задачи поражения наземных,
воздушных и космических объектов требуют
соверш енствования методов и алгоритмов,
испо льзуемых для обработки траекторных
измерений с целью повышения их дос товерности и
точности определения траекторных параметров
движения цели ведет к решению различных
научно -технических задач.
Особый интерес предс тавляе т собой решение
актуальной научно -техн ической задачи по
разработке вероятностно -статистического метода
моде лирования явлений переноса в
многокомпонентной, помещенной СВЧ -
электрической поле, построению и анализу на
основе полученных результатов матема тическ ой
модели влияния ионо -магнитосферы на
характеристики систем электронной техники,
имеющей существенное знач ение для повышения
эффективности функционирования РЛС,
широкомасштабного использования космоса для
решения различных задач связи, а также для
обработ ки траекторных измерений с целью
повыш ения их достоверности и точности
определения траекторных параметров д вижения
различных летательных аппаратов (цели).
Одним из этапов решения поставленной
задачи является теоретическое обоснование
дисперсионного у равнен ия потенциальных
колебаний ионо -магнит осферы, полученных из
бесконечной системы уравнений типа Вольтера для
сверх -высокочастотного электрического поля с
частотой превосходящей собственные частоты
среды.
Для обоснования дисперсионного уравнения
потенц иальны х колебаний многокомпонентной
ионо -маг нитосферы в качестве исходного пункта
используем уравнение Пуассона.
���� �→= 4�∑ �������� ������ , (1)
где в правой части фигурирует возмущение
плотности заряженных частиц, а в левой -
возмущение потенциа льно го электрического поля.