ОДНА ЗАДАЧА ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДИВЕРГЕНТНОЙ ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ (59-63)
Номер части:
Оглавление
Содержание
Журнал
Выходные данные
Дата публикации статьи в журнале:
2020/08/10
Название журнала:Национальная Ассоциация Ученых,
Выпуск:
57,
Том: 1,
Страницы в выпуске:
59-63
Автор:
Маматов Алишер Зулунович
доктор технических наук, профессор , Ташкентский институт текстильной и лёгкой промышленности,
доктор технических наук, профессор , Ташкентский институт текстильной и лёгкой промышленности,
Автор:
Досанов Муртозоқул Саидазимович
Преподаватель , ГулДУ,
Преподаватель , ГулДУ,
Автор:
Рахмонов Жамшид Турдалиевич
Преподаватель , ГулДУ,
Преподаватель , ГулДУ,
Ключевые слова:
параболический тип;
монотон; дифференциальные неравенства;
Данные для цитирования: Досанов Муртозоқул Саидазимович Рахмонов Жамшид Турдалиевич . ОДНА ЗАДАЧА ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДИВЕРГЕНТНОЙ ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ (59-63). Национальная Ассоциация Ученых.
Проблемы Физико-математических наук. 2020/08/10;
57(1):59-63
- PDF версия
- Текстовая версия
Скачать в формате PDF
Список литературы: 1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа// М.-Наука,-1967.736 С.
2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа// М.-Наука,-1973.-576 С.
3. Kagur J. Nonlinear parabolic equtions with the mixed nonlinear and nonstationary boundary
conditions Math Slovoca, 1980, 30, N3, p 213-237
4. Polyanin, A. D., Schiesser, W. E., and Zhurov,
A. I. Partial differential equations (2008), Scholarpedia, 3(10):4605. 5. Friedman A. Partial differential equations of parabolic type, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J. (1964)
6. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов//М.-Наука,-1966.-432 С.
7. Маматов А.З. Применения метода Галеркина к некоторому квазилинейному уравнению параболического типа// Вестник ЛГУ,1981.-№13.-С.37-45.
8. Кудинов В, Карташов Э, Калашников В. Теория тепломассопереноса: решение задач для многослойных конструкций. М.-« Юрайт».-2018. 435 с. Math, 1971, 16, 362-369.
Националь ная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20 59
Чувствительность падения напряжения на
переходе исток -затвор к освещенности
обусловлено следующим. Т ак, освещение канала n-
типа квантами с энергией большей ширины
запрещенной зоны приводит к генерации
неравновесных электронно –дырочных пар, а
увеличени е интенсивности освещения к
уменьшению контактной разности потенциалов p-
n-перехода
, (2.12)
где – кон центрация дырок, генерируемых
фотонами при освещении n-области .
В свою очередь фототок, возникающий на
переходе исток -затвор, уменьшает его
сопротивлен ие, что приводит к уменьшению
падающего напряжения по срав нению с темновым.
Таким образом, полевой фототр анзистор в
режиме отсечки канала можно использовать для
измерения интенсивности светового излучения.
ЛИТЕРАТУ РА
1. В.М.Андреев, В.Р.Ларионов, И.В.Ловы гин,
Д.А.Малевский, М.Я.Масленков, В.Д.Румянцев,
М.З.Шварц. Создание комплекса методик и средств
для исслед ования наногетероструктурных
солнечных элементов.
http://technoexan.ru/articl es/article3_photovoltaika.pd
f
2. Федосеев В.И., Колосов М.П. Оптико -
электронные приборы ориентации и навигации
космических аппаратов: у чеб. пособие. — М.:
Логос, 2007. —248 с.: ил.
3. Бабичев Г.Г., Козловский С.И., Романов
В.А., Шаран Н.Н. Кремниевые двухстоков ые
полевые тензотранзисторы. Журнал технической
физики , 2000, том 70, вып . 10. С. 45 -49.
4. Karimov A.V., Yodgorova D.M., Kamanov
B.M., Djurayev D.R., Turayev A.A. Features
amplifyin g properties of a field effect transistor in the
circuit with dynamic load / / Physical Surface
Engineering, 2015. – V. 13, No. 1. – PP. 12 -16.
5. Patent RU number the IAP 05120 "Multi -
sensor -based field effect tr ansistor" // A.V. Karimov,
Yodgorova D.M., Abdu lkhaev O.A., Dzhurayev D.R.,
Turaev A.A. Bull., №11 from 11.30.2015.
6. Karimo v A.V., Bakhronov Sh.N. The
thermoelectric converter//Technical Physics Letters.
25, 101 –102 (1999).
7. Д.Р.Джураев, А.В.Каримов, Д.М.Ёд горова,
О.А.Абдулхаев, А.А.Тураев, Научн ый журн ал
“Физика полпроводников и ми кроэлектроника”
1(01)2019.с.45 -47.
8. D.R.Djurae v, A.A.Turaev. Photoelectric
sensitivity of multifunctional sensor on the outdoor
transistor. Scientific repor ts of Bukhara State
University 3(23)20 18 . с.7-11.
9. A.V. Karimov, D.R. Djuraev, O.A.
Abdulhaev, A.Z. Rahmatov, D.M. Yodgorova ,
A.A.Turaev. Tenso properties of field -effect transisto rs
in channel cutoff mode. International Journa l of
Engineering Inventions Volume 5, Issue 9 [Oct. 2016]
PP: 42 -44.
10. O.A.Ab dulkhayev, D.R.Dzhurayev,
D.M.Yodgorova, A.V.Karimov, A.Z.Rakhmatov,
A.A.Turaev. Physico -technological aspects multifunc -
tional senso r on field -effect transistor . New Trends of
Dev elopment Fundamental and App lied Physics:
Problems, Achievements and Prospec ts 10 -11
November 2016, Tashkent, Uzbekistan . PP: 231 -234.
11. A.V. Karimov, D.R.Djuraev, A.A.Turaev.
Investigation temperature sensitivi ty of the field -effect
transistor in channel de pletion mode. Journal of
Sci entific and Engineering Research , 2017, 4(2):1 -4.
12. А.А.Тураев. Особенности температурной
чувствии -тельности транзисторной структуры в
двухполюсном режиме. Colloquium -journal .
Arhite cture Technical science Physics and
Mathematics № 3(27) 2019. p.71 -75.
ОДНА ЗАДАЧА ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДИВЕРГЕНТНО Й ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ
Маматов Алишер Зулунович
доктор технических наук, профессор
Ташкентского института текстильной
и лёгкой промышленнос ти , Узбекистан
Досанов Муртозо қул Саидазимович
Преподаватель ГулДУ, Узбекистан
Рахмонов Жамшид Турдалиевич
Преподаватель ГулДУ, Узбекистан
Турдибоев Дилшод Хамидович
PhD , старший п реподаватель,
ГулДУ Узбекистан
ONE PROBLEM OF A PARABOLIC TYPE WITH DIVERGE NT MAIN PART
АННОТАЦИЯ
В статье рассмотрена од на задача параболического типа с дивергентной главной частью на плоскости,
когда граничное условие содержит производную по времени от искомой функции. Построено ф
n ф n n
n
e
kT U
+
= ln фn
60 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20
приближенное решение рассматриваемой задачи. Док азана существования и ед инственность обобщенног о
решения задачи в пространстве 1,1̃ ().
ABSTRACT
The article c onsiders one parabolic type problem with a divergent main part on the plane, when the boundary
condition contains the time derivative of the desired function. An approximate solutio n to the problem under
consideration is constructed. The exist ence and uniq ueness of a generalized solution of the problem in the space
1,1̃ () is proved.
Ключе вые слова: параболический тип, моното н, дифференциальные неравенства .
Key words: The parabolic type, monotone, differential inequality
Рассмотрим некласс ическ ую квазилинейную
задачу параболического типа, когда граничное
условие содержит производную по времени от
искомой функции [1-5]:
{
−
(,,,∇)+(,,,∇)= 0 ,
+(,,,∇)cos (ν,)= (,,),(,)∈ ,
(,0)= 0() ,∈
(1)
где −ограниченная область в Е2.
Предположим, что выполнены следующие у словия: А. При (,,,)∈{ ̅×[,]×1×
2} функции (,,,) ,(,,,) измеримы по (,,,),непрерывны по (,,) и удовлетворяют
неравенствам
|(,,,)|≤ (||+||)+1(,) , 1∈2() ,= 1,2 (2)
|(,,,)|≤ (||2−+||)+2(,) ,2∈(), (3)
где ||= (∑ 2 =1 )12, < ∞,> 0,> 1
В случае ограниченных обобщений решений на () 1.1 ̃ ограничения на (,,,) и (,,,)
следу ющие
|(,,,)|≤ 1()(||+1(,)) , 1∈2() ,
|(,,,)|≤ 2()(|р|2+2(,)) ,2∈1(),
где ()− непрерывные функции от
Б. Функции (,,,) имеют вид:
(,,,)= ̅(,,,)+̿(,) (4)
здесь
̅(,,,)= ̅(,,,)
р , |̅
|≤ (||2+||2)+3(,) ,3∈1()
|̅
|≤ (||+||)+4(,) ,4∈2() (5)
≥ 0 ,∫ ̅ (,,,∇) |
0≥ 0
В. Условие п араболичности. Для любой гладкой функции U(x,t) справедливо неравенство.
∫ ̿ (,∇)dxdt ≥ ν‖∇U‖L2() 2 (6)
где ν-положит ельная постоянная. Г. Условие монотонности. Для любых функций ,∈1
((,,,∇)−(,,,∇),−)+((,,,∇)−(,,,∇),−)≥ 0 (7)
Д. При (,,)∈{̅×[,]×1} функц ия (,,)
непрерывна по (,) и уд овлетворяет неравенству:
Националь ная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20 61
|(,,)−(,,)|≤ 0|−|,(,,0)∈2() (8)
Определение. Обобщенным решением из пространства Н1,1̃ ()= {∈Н1,1(): ∈2()}
задачи (1) назовем функцию из Н1,1̃ () удовлетворяющую тождеству
∫(+(,,,∇)+(,,,∇))
+
+∫ (−(,,)) = 0 (9)
Построим приближенное решение по Галерки ну [6-11 ]. Возьмем координатную систему из
пространства 1. Приближенное решение U(x,t) будем иск ать в виде
(,)= ∑
=1
()()
где С() определяются из системы обыкновен ных дифференциальных уравнений
(,) ̂2+((,,,∇),)+((,,,∇),)=
= ((,,),) ,= 1, ̅̅̅̅̅ (10)
и начальных условий
(,)−0− "мало"
Если система { } ортонормированна в метрике ̂2(), то си стема (10) принимает вид
С̇= (,1,..,), (11)
где (,12,..,)= −((,,,∇),)−((,,,∇),)+((,,),)
Условие А обеспечива ет существование и непрерывность функции
(,1,..,) по и С. Поэтому для существования, по крайней мере одного решения задачи (11)
на всем интервале [ O,T] достаточно знать все возможные решения равномерно ограничены. Т акая
ограниченность следует из априорной оценки
max0≤≤ ‖(,)‖ ̂2
2 +‖(,)‖2(,,̂2) 2 + max0≤≤‖∇(,)‖ ̂22 ≤ (12)
где N-посто янная, не зависящая от n.
Отсюда получим не рав енство
max0≤≤‖С()‖2= max0≤≤‖(,)‖2() 2 ≤ ,С= {()}=1
Для доказательства неравенства (12) умножим уравнение (10) на ̇(), просумм ируем по k от 1 до n
и проинтегрируем полученно е соотношение от нуля до t:
‖‖2(,,̂2) 2 +∫ (,,,∇)
+∫(,
0 )̂2 ++∫ (,,,∇) =
∫ g(x,t,U) St +∫(,)̂2
0 (13)
В силу предположений (3) -(7) и неравенства Коши
2 ≤ 2+−12имеем ∫ (,,,∇)
() = ∫
̅(,,,∇) −
∫ (̅
+̅
) +∫ ̿ (,∇)
≥ ∫ ̅ (,,,∇) |
0+‖∇‖2() 2 −1
4‖‖2() 2 −
(‖‖2() 2 +‖∇‖2() 2 )−‖3‖1()−‖4‖2() 2
Далее
62 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20
|∫ (,,,∇)
|≤ 1
4‖‖2() 2 +‖‖2(,,1()) 2 +‖2‖2() 2
Аналогично
|∫(,
0 )̂2|≤ 1
4∫‖‖̂22
0 +∫‖ ‖̂22
0 ,
|∫ g(x,t,U) St
|≤ 3
4‖‖2() 2 +(‖‖2() 2 +‖(,,)‖2() 2 )
Полученные оценки подст авим в (13):
‖‖2(,,̂2) 2 +‖∇‖2() 2 +‖‖̂22 ≤ (‖‖2(,,̂2) 2 +‖∇‖2(,,2()) 2 )++()
где
()= 1(‖(,,)‖2() 2 +‖2‖2() 2 +‖3‖1() 2 +‖4‖2() 2 +‖0()‖1() 2 )
Отсюда, в силу леммы о дифференциальных неравенствах, получим оценку (12)
Займемся теперь предельным переходом по → ∞. Из оценки (12) следует, что найдется такая
функция (,)∈1.1 ̅̅̅̅̅() и такая под послед овательность U(x,t), что функции U(x,t) сходятся к u(x,t)
слабо в норме 1.1 ̅̅̅̅̅() и функции сходятся к в 2(). Так как вложения 1.1 ̅̅̅̅̅()∈2(),2()
компактны, то U(x,t)→ (x,t) сильно в 2() и в 2(). Из этой сходимости следует сходимость U(x,t) к
u(x,t) в 2() и в 2() для почти всех t из [ O,T] и почти всюду в . Кроме того, по теореме вложени я,
следует сильная сходимость U(x,t) в ∗(), ∗< = 2 и слабая сходимость в () [12 -13].
Такая сходимость U(x,t) к u(x,t) гаран тирует, сходимость интеграла
∫ g(x,t,U) St
→ ∫ g(x,t,u) St
Далее, из ус ловия А следует, что функции (,,,∇) = 1,2 ̅̅̅̅̅ и (,,,∇) имеют равномерно
ограниченные нормы в пространствах 2() и 1() соответственно. Ввиду этого положим, что вся
последовательность (,,,∇) = 1,2 сходится слабо в 2(Т) и элементам (,) пространства
2(Т) и функции (,,,∇) сходятся слабо к A(x,t)∈1() в пространстве 1().
Обозначим через Р совокупность линейных комбинаций вида
(,)= ∑
=1
()()
uде ()-прои звольные гладкие на отрезке [ O,T] функции. Умножая соотношения (10) на ()
суммируя по к от 1 до l и интегрируя от 0 до , находим, что для любой функции (,)∈Р справедливо
равенс тво
∫(,)2
0 +∫ (,,,∇)+ (,,,∇)] = ∫ g(x,t,U) St (14)
Перейдем к преде лу по → ∞. В результате чего получаем:
∫ (Ut,W)τ2dt +∫ [Ai(x,t)Wxi+A(x,t)W] QT dxdt = ∫ g(x,t,u) ST Wdxdt Т
0 (15)
Так к ак ⋃ ∞=1 плотно в 1.0(), то выполнив в (15) замыкание по W получаем, что равенство (15)
справедливо для любой функции ∈1,0()
Нетрудно доказать, что
∫[Ai(x,t)+A(x,t)]
= ∫[(,,,∇U)+(,,,∇)]
Теперь из равенства (15) получим, что функция U(x,t) ест ь искомое обобщенное решение.
Националь ная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20 63
Докажем единственность решения. Пусть 1(,),2(,) два решения задачи (9), тогда их разность
1−2 удовлетворяет соотношению
∫ (1−2)
(1−2) +0∫ (1−2)
(1−2)
+ ∫{[(,,1,∇U1)−(,,2,∇U2)](1−2)
+[(,,1,∇1)−(,,2,∇2)](1−2)}
= ∫[(,,1)−(,,2)]
(1−2)
Воспользовавшись условиями (5) и (7), получим
∫(1−2)2
+0∫ ∫(1−2)2
≤ 2 0
∫ ∫(1−2)2
Следовательно, 1≡ 2. Таким образом, доказ ана:
ТЕОРЕМА . Если выполнены условия А -Д, то существует единственное обобщенное решение задачи
(1) в пространстве 1,1̃ ().
ЛИТЕРАТ УРА
1. Ладыженская О.А., Солонников В.А.,
Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные
уравнения параболического типа// М. -Наука, -1967. -
736 С.
2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н.
Линейные и квазилинейные уравнения
эллипт ического типа// М. -Наука, -1973. -576 С.
3. Kagur J. Nonlinear parabolic equtions with the
mixed nonlinear and nonstationary bound ary
conditions Math Slovoca, 1980, 3 0, N3, p 213 -237
4. Polyanin, A. D., Schiesser, W. E., and Zhurov,
A. I. Partial differential equ ations (2008),
Scholarpedia, 3(10):4605.
5. Friedm an A. Partial differential equations of
parabolic type, Prentice -Hall, Englewood Cliffs, N. J.
(1964)
6. Михлин С.Г. Численная реализация
вариационных методов//М. -Наука, -1966. -432 С.
7. Маматов А.З. Применения метод а
Галеркина к некоторому квазилинейному
уравнен ию параболического типа// Вестник ЛГУ, -
1981. -№13. -С.37 -45.
8. Кудинов В, Карташов Э, Калашников В.
Теория тепломассоп ереноса: решение задач для
многослойных конструкций. М. -« Юрайт». -2018. -
435 с. Math , 1971, 16, 362 -369.
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ УСЛОВИЙ ОБРАЗ ОВАНИЯ СТРУКТУРЫ НА
ПОВЕРХНОСТИ И В ЦЕНТРЕ НЕПРЕРЫВНОЛИТОГО СЛИТКА
Хорошев Игорь Андреевич
студент,
Липецкий госуда рственный технический университет,
Россия, г. Липецк
Дождиков Владимир Иванович
доктор. техн. н аук, профессор,
Липецкий государственный уни верситет,
Россия , г. Липецк
COMPARATIVE ANALYSIS OF CONDITIONS FOR THE STRUCTURE FORMATION ON
THE SURFACE AND IN THE CENTER OF A CONTINUOUSLY CAST INGOT
Khoroshev Igor
student,
Lipetsk State Technical University , Lipetsk, Russia
Dozhdikov Vladimir
doct or of engineering, Professor,
Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russia
Чувствительность падения напряжения на
переходе исток -затвор к освещенности
обусловлено следующим. Т ак, освещение канала n-
типа квантами с энергией большей ширины
запрещенной зоны приводит к генерации
неравновесных электронно –дырочных пар, а
увеличени е интенсивности освещения к
уменьшению контактной разности потенциалов p-
n-перехода
, (2.12)
где – кон центрация дырок, генерируемых
фотонами при освещении n-области .
В свою очередь фототок, возникающий на
переходе исток -затвор, уменьшает его
сопротивлен ие, что приводит к уменьшению
падающего напряжения по срав нению с темновым.
Таким образом, полевой фототр анзистор в
режиме отсечки канала можно использовать для
измерения интенсивности светового излучения.
ЛИТЕРАТУ РА
1. В.М.Андреев, В.Р.Ларионов, И.В.Ловы гин,
Д.А.Малевский, М.Я.Масленков, В.Д.Румянцев,
М.З.Шварц. Создание комплекса методик и средств
для исслед ования наногетероструктурных
солнечных элементов.
http://technoexan.ru/articl es/article3_photovoltaika.pd
f
2. Федосеев В.И., Колосов М.П. Оптико -
электронные приборы ориентации и навигации
космических аппаратов: у чеб. пособие. — М.:
Логос, 2007. —248 с.: ил.
3. Бабичев Г.Г., Козловский С.И., Романов
В.А., Шаран Н.Н. Кремниевые двухстоков ые
полевые тензотранзисторы. Журнал технической
физики , 2000, том 70, вып . 10. С. 45 -49.
4. Karimov A.V., Yodgorova D.M., Kamanov
B.M., Djurayev D.R., Turayev A.A. Features
amplifyin g properties of a field effect transistor in the
circuit with dynamic load / / Physical Surface
Engineering, 2015. – V. 13, No. 1. – PP. 12 -16.
5. Patent RU number the IAP 05120 "Multi -
sensor -based field effect tr ansistor" // A.V. Karimov,
Yodgorova D.M., Abdu lkhaev O.A., Dzhurayev D.R.,
Turaev A.A. Bull., №11 from 11.30.2015.
6. Karimo v A.V., Bakhronov Sh.N. The
thermoelectric converter//Technical Physics Letters.
25, 101 –102 (1999).
7. Д.Р.Джураев, А.В.Каримов, Д.М.Ёд горова,
О.А.Абдулхаев, А.А.Тураев, Научн ый журн ал
“Физика полпроводников и ми кроэлектроника”
1(01)2019.с.45 -47.
8. D.R.Djurae v, A.A.Turaev. Photoelectric
sensitivity of multifunctional sensor on the outdoor
transistor. Scientific repor ts of Bukhara State
University 3(23)20 18 . с.7-11.
9. A.V. Karimov, D.R. Djuraev, O.A.
Abdulhaev, A.Z. Rahmatov, D.M. Yodgorova ,
A.A.Turaev. Tenso properties of field -effect transisto rs
in channel cutoff mode. International Journa l of
Engineering Inventions Volume 5, Issue 9 [Oct. 2016]
PP: 42 -44.
10. O.A.Ab dulkhayev, D.R.Dzhurayev,
D.M.Yodgorova, A.V.Karimov, A.Z.Rakhmatov,
A.A.Turaev. Physico -technological aspects multifunc -
tional senso r on field -effect transistor . New Trends of
Dev elopment Fundamental and App lied Physics:
Problems, Achievements and Prospec ts 10 -11
November 2016, Tashkent, Uzbekistan . PP: 231 -234.
11. A.V. Karimov, D.R.Djuraev, A.A.Turaev.
Investigation temperature sensitivi ty of the field -effect
transistor in channel de pletion mode. Journal of
Sci entific and Engineering Research , 2017, 4(2):1 -4.
12. А.А.Тураев. Особенности температурной
чувствии -тельности транзисторной структуры в
двухполюсном режиме. Colloquium -journal .
Arhite cture Technical science Physics and
Mathematics № 3(27) 2019. p.71 -75.
ОДНА ЗАДАЧА ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА С ДИВЕРГЕНТНО Й ГЛАВНОЙ ЧАСТЬЮ
Маматов Алишер Зулунович
доктор технических наук, профессор
Ташкентского института текстильной
и лёгкой промышленнос ти , Узбекистан
Досанов Муртозо қул Саидазимович
Преподаватель ГулДУ, Узбекистан
Рахмонов Жамшид Турдалиевич
Преподаватель ГулДУ, Узбекистан
Турдибоев Дилшод Хамидович
PhD , старший п реподаватель,
ГулДУ Узбекистан
ONE PROBLEM OF A PARABOLIC TYPE WITH DIVERGE NT MAIN PART
АННОТАЦИЯ
В статье рассмотрена од на задача параболического типа с дивергентной главной частью на плоскости,
когда граничное условие содержит производную по времени от искомой функции. Построено ф
n ф n n
n
e
kT U
+
= ln фn
60 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20
приближенное решение рассматриваемой задачи. Док азана существования и ед инственность обобщенног о
решения задачи в пространстве 1,1̃ ().
ABSTRACT
The article c onsiders one parabolic type problem with a divergent main part on the plane, when the boundary
condition contains the time derivative of the desired function. An approximate solutio n to the problem under
consideration is constructed. The exist ence and uniq ueness of a generalized solution of the problem in the space
1,1̃ () is proved.
Ключе вые слова: параболический тип, моното н, дифференциальные неравенства .
Key words: The parabolic type, monotone, differential inequality
Рассмотрим некласс ическ ую квазилинейную
задачу параболического типа, когда граничное
условие содержит производную по времени от
искомой функции [1-5]:
{
−
(,,,∇)+(,,,∇)= 0 ,
+(,,,∇)cos (ν,)= (,,),(,)∈ ,
(,0)= 0() ,∈
(1)
где −ограниченная область в Е2.
Предположим, что выполнены следующие у словия: А. При (,,,)∈{ ̅×[,]×1×
2} функции (,,,) ,(,,,) измеримы по (,,,),непрерывны по (,,) и удовлетворяют
неравенствам
|(,,,)|≤ (||+||)+1(,) , 1∈2() ,= 1,2 (2)
|(,,,)|≤ (||2−+||)+2(,) ,2∈(), (3)
где ||= (∑ 2 =1 )12, < ∞,> 0,> 1
В случае ограниченных обобщений решений на () 1.1 ̃ ограничения на (,,,) и (,,,)
следу ющие
|(,,,)|≤ 1()(||+1(,)) , 1∈2() ,
|(,,,)|≤ 2()(|р|2+2(,)) ,2∈1(),
где ()− непрерывные функции от
Б. Функции (,,,) имеют вид:
(,,,)= ̅(,,,)+̿(,) (4)
здесь
̅(,,,)= ̅(,,,)
р , |̅
|≤ (||2+||2)+3(,) ,3∈1()
|̅
|≤ (||+||)+4(,) ,4∈2() (5)
≥ 0 ,∫ ̅ (,,,∇) |
0≥ 0
В. Условие п араболичности. Для любой гладкой функции U(x,t) справедливо неравенство.
∫ ̿ (,∇)dxdt ≥ ν‖∇U‖L2() 2 (6)
где ν-положит ельная постоянная. Г. Условие монотонности. Для любых функций ,∈1
((,,,∇)−(,,,∇),−)+((,,,∇)−(,,,∇),−)≥ 0 (7)
Д. При (,,)∈{̅×[,]×1} функц ия (,,)
непрерывна по (,) и уд овлетворяет неравенству:
Националь ная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20 61
|(,,)−(,,)|≤ 0|−|,(,,0)∈2() (8)
Определение. Обобщенным решением из пространства Н1,1̃ ()= {∈Н1,1(): ∈2()}
задачи (1) назовем функцию из Н1,1̃ () удовлетворяющую тождеству
∫(+(,,,∇)+(,,,∇))
+
+∫ (−(,,)) = 0 (9)
Построим приближенное решение по Галерки ну [6-11 ]. Возьмем координатную систему из
пространства 1. Приближенное решение U(x,t) будем иск ать в виде
(,)= ∑
=1
()()
где С() определяются из системы обыкновен ных дифференциальных уравнений
(,) ̂2+((,,,∇),)+((,,,∇),)=
= ((,,),) ,= 1, ̅̅̅̅̅ (10)
и начальных условий
(,)−0− "мало"
Если система { } ортонормированна в метрике ̂2(), то си стема (10) принимает вид
С̇= (,1,..,), (11)
где (,12,..,)= −((,,,∇),)−((,,,∇),)+((,,),)
Условие А обеспечива ет существование и непрерывность функции
(,1,..,) по и С. Поэтому для существования, по крайней мере одного решения задачи (11)
на всем интервале [ O,T] достаточно знать все возможные решения равномерно ограничены. Т акая
ограниченность следует из априорной оценки
max0≤≤ ‖(,)‖ ̂2
2 +‖(,)‖2(,,̂2) 2 + max0≤≤‖∇(,)‖ ̂22 ≤ (12)
где N-посто янная, не зависящая от n.
Отсюда получим не рав енство
max0≤≤‖С()‖2= max0≤≤‖(,)‖2() 2 ≤ ,С= {()}=1
Для доказательства неравенства (12) умножим уравнение (10) на ̇(), просумм ируем по k от 1 до n
и проинтегрируем полученно е соотношение от нуля до t:
‖‖2(,,̂2) 2 +∫ (,,,∇)
+∫(,
0 )̂2 ++∫ (,,,∇) =
∫ g(x,t,U) St +∫(,)̂2
0 (13)
В силу предположений (3) -(7) и неравенства Коши
2 ≤ 2+−12имеем ∫ (,,,∇)
() = ∫
̅(,,,∇) −
∫ (̅
+̅
) +∫ ̿ (,∇)
≥ ∫ ̅ (,,,∇) |
0+‖∇‖2() 2 −1
4‖‖2() 2 −
(‖‖2() 2 +‖∇‖2() 2 )−‖3‖1()−‖4‖2() 2
Далее
62 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20
|∫ (,,,∇)
|≤ 1
4‖‖2() 2 +‖‖2(,,1()) 2 +‖2‖2() 2
Аналогично
|∫(,
0 )̂2|≤ 1
4∫‖‖̂22
0 +∫‖ ‖̂22
0 ,
|∫ g(x,t,U) St
|≤ 3
4‖‖2() 2 +(‖‖2() 2 +‖(,,)‖2() 2 )
Полученные оценки подст авим в (13):
‖‖2(,,̂2) 2 +‖∇‖2() 2 +‖‖̂22 ≤ (‖‖2(,,̂2) 2 +‖∇‖2(,,2()) 2 )++()
где
()= 1(‖(,,)‖2() 2 +‖2‖2() 2 +‖3‖1() 2 +‖4‖2() 2 +‖0()‖1() 2 )
Отсюда, в силу леммы о дифференциальных неравенствах, получим оценку (12)
Займемся теперь предельным переходом по → ∞. Из оценки (12) следует, что найдется такая
функция (,)∈1.1 ̅̅̅̅̅() и такая под послед овательность U(x,t), что функции U(x,t) сходятся к u(x,t)
слабо в норме 1.1 ̅̅̅̅̅() и функции сходятся к в 2(). Так как вложения 1.1 ̅̅̅̅̅()∈2(),2()
компактны, то U(x,t)→ (x,t) сильно в 2() и в 2(). Из этой сходимости следует сходимость U(x,t) к
u(x,t) в 2() и в 2() для почти всех t из [ O,T] и почти всюду в . Кроме того, по теореме вложени я,
следует сильная сходимость U(x,t) в ∗(), ∗< = 2 и слабая сходимость в () [12 -13].
Такая сходимость U(x,t) к u(x,t) гаран тирует, сходимость интеграла
∫ g(x,t,U) St
→ ∫ g(x,t,u) St
Далее, из ус ловия А следует, что функции (,,,∇) = 1,2 ̅̅̅̅̅ и (,,,∇) имеют равномерно
ограниченные нормы в пространствах 2() и 1() соответственно. Ввиду этого положим, что вся
последовательность (,,,∇) = 1,2 сходится слабо в 2(Т) и элементам (,) пространства
2(Т) и функции (,,,∇) сходятся слабо к A(x,t)∈1() в пространстве 1().
Обозначим через Р совокупность линейных комбинаций вида
(,)= ∑
=1
()()
uде ()-прои звольные гладкие на отрезке [ O,T] функции. Умножая соотношения (10) на ()
суммируя по к от 1 до l и интегрируя от 0 до , находим, что для любой функции (,)∈Р справедливо
равенс тво
∫(,)2
0 +∫ (,,,∇)+ (,,,∇)] = ∫ g(x,t,U) St (14)
Перейдем к преде лу по → ∞. В результате чего получаем:
∫ (Ut,W)τ2dt +∫ [Ai(x,t)Wxi+A(x,t)W] QT dxdt = ∫ g(x,t,u) ST Wdxdt Т
0 (15)
Так к ак ⋃ ∞=1 плотно в 1.0(), то выполнив в (15) замыкание по W получаем, что равенство (15)
справедливо для любой функции ∈1,0()
Нетрудно доказать, что
∫[Ai(x,t)+A(x,t)]
= ∫[(,,,∇U)+(,,,∇)]
Теперь из равенства (15) получим, что функция U(x,t) ест ь искомое обобщенное решение.
Националь ная ассоциация ученых (НАУ) # 57, 20 20 63
Докажем единственность решения. Пусть 1(,),2(,) два решения задачи (9), тогда их разность
1−2 удовлетворяет соотношению
∫ (1−2)
(1−2) +0∫ (1−2)
(1−2)
+ ∫{[(,,1,∇U1)−(,,2,∇U2)](1−2)
+[(,,1,∇1)−(,,2,∇2)](1−2)}
= ∫[(,,1)−(,,2)]
(1−2)
Воспользовавшись условиями (5) и (7), получим
∫(1−2)2
+0∫ ∫(1−2)2
≤ 2 0
∫ ∫(1−2)2
Следовательно, 1≡ 2. Таким образом, доказ ана:
ТЕОРЕМА . Если выполнены условия А -Д, то существует единственное обобщенное решение задачи
(1) в пространстве 1,1̃ ().
ЛИТЕРАТ УРА
1. Ладыженская О.А., Солонников В.А.,
Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные
уравнения параболического типа// М. -Наука, -1967. -
736 С.
2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н.
Линейные и квазилинейные уравнения
эллипт ического типа// М. -Наука, -1973. -576 С.
3. Kagur J. Nonlinear parabolic equtions with the
mixed nonlinear and nonstationary bound ary
conditions Math Slovoca, 1980, 3 0, N3, p 213 -237
4. Polyanin, A. D., Schiesser, W. E., and Zhurov,
A. I. Partial differential equ ations (2008),
Scholarpedia, 3(10):4605.
5. Friedm an A. Partial differential equations of
parabolic type, Prentice -Hall, Englewood Cliffs, N. J.
(1964)
6. Михлин С.Г. Численная реализация
вариационных методов//М. -Наука, -1966. -432 С.
7. Маматов А.З. Применения метод а
Галеркина к некоторому квазилинейному
уравнен ию параболического типа// Вестник ЛГУ, -
1981. -№13. -С.37 -45.
8. Кудинов В, Карташов Э, Калашников В.
Теория тепломассоп ереноса: решение задач для
многослойных конструкций. М. -« Юрайт». -2018. -
435 с. Math , 1971, 16, 362 -369.
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ УСЛОВИЙ ОБРАЗ ОВАНИЯ СТРУКТУРЫ НА
ПОВЕРХНОСТИ И В ЦЕНТРЕ НЕПРЕРЫВНОЛИТОГО СЛИТКА
Хорошев Игорь Андреевич
студент,
Липецкий госуда рственный технический университет,
Россия, г. Липецк
Дождиков Владимир Иванович
доктор. техн. н аук, профессор,
Липецкий государственный уни верситет,
Россия , г. Липецк
COMPARATIVE ANALYSIS OF CONDITIONS FOR THE STRUCTURE FORMATION ON
THE SURFACE AND IN THE CENTER OF A CONTINUOUSLY CAST INGOT
Khoroshev Igor
student,
Lipetsk State Technical University , Lipetsk, Russia
Dozhdikov Vladimir
doct or of engineering, Professor,
Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russia