ЗАДАЧА ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНОЙ МНОГОЧЛЕНОВ В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ (50-52)

50 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 50 , 201 9
информацию из нескольких разделов физики в
сочетании с электроникой. В результате возникают
глубокие ассоциации, способствующие
длительному хранению в нашей памяти
воспринимаемой информации. Использование
электр онн ого конструкто ра в опытах классической
физики имеет и др угое, пожалуй, самое важное
значение: электронный конструктор, будучи
незамкнутой системой, побуждает обучаемых к
творчеству, к выбору самостоятельных
технических решений. Союз такой открытой
досту пно й электроники в сочетании с физикой
очень продуктивен.




ЛИТЕРАТУРА
1. Agafontzew Walerij W, Achmedjanov
Walerij W, Worobjew Alexandr N, Tarasov Vladimir
M. “Didaktishe Modelle in der universit ӓren
elektrotechnischen Ausbildung ˮ (2nd International
Scientif ic Conference ʺEuro pen Applied Sciences:
modern approaches in scientific researchesʺ, February
18-19, 2013), ORT Publishing, Stuttgart, Germany, pp.
5-7.
2. Ахмедьянов В.В . “Физический
эксперимент через интернет?! ДА !!!ˮ // Учебная
физика. -2007. - № 1. - С. 1 31-134.
3. Агафонцев В.В, Ахмедьянов В.В,
Воробьёв А.Н, Симак ов В.В, Тарасов В.М .
“Удалённый доступ в физическом и
технологическом эксперименте ˮ // Учебная
физика. -2008. - № 1. - С. 124 -129.

ЗАДАЧА ОЦЕНКИ ПРОИЗВО ДНОЙ МНОГОЧЛЕНОВ В З АДАННОЙ ТОЧКЕ
DOI: 10.31618/nas.2413 -5291.2019.3.50.121
Загиров Н.Ш., Га джиева Т.Ю., Эфе ндиев Э.И
.
Для непрерывной на некотором отрезке [⥈⏬⥉]
функции ⥍(⥟), как обычно, положим:
✬⥍✬= ⥔⥈⥟ {␌⥍(⥟)␌⏮⥟⟛[⥈⏬⥉]}.
Для произвольной функции норма её
производной никак не связана с нормой самой
функции. Эт о оказалось не так дл я многочленов,
как тригонометрических¸ так и алгебраических.
Сначала С.Н. Бернштейн показал, [1]что для
тригонометрического многочлена ⥜ⷬ(⥛) поряд ка ⥕
на [⥈⏬⥉]= [╽⏬╿⧳] : ✬⥜ⷬ㏼✬≤ ⥕✬⥜ⷬ✬ и, как следствие,
для алгебраического многочлена ⤽ⷬ(⥟) степени ⥕ на
отрезке [⽑╾⏬╾] для ⥟⟛(⽑╾⏬╾) имеем
✬⤽ⷬ㏼(⥟)✬≤ ⷬ
⾰ⵀⵊⷶ⸹✬⤽ⷬ✬. (1)
Классический результат А.А. Маркова, [2]:
✬⤽ⷬ㏼✬≤ ⥕ⵁ✬⤽ⷬ✬.
Эти неравенства обобщались в различных
напр авлениях. Отметим некоторые из рабо т,
посвященных о ценкам норм производных
многочленов, [3] -[8].
На наш взгляд, представляет интерес задача
получения оценок типа (1) в зависимости от
распол ожения т очки х на всей числовой прямой.
В данн ой статье мы установим некоторые
общие результаты. Приме нить их к алгебр аическим
многочленам планируем в другой работе.
Пусть ⨁ⴿ(⥛)⏬⏯⏯⏯⏬⨁ⷬ(⥛) - линейно независимая
система дифференцируемых ф ункций,
определенных на некотором отрезке [⥈⏬⥉];
положим ⥃(⥛)= (⨁ⴿ(⥛)⏬⏯⏯⏯⏬⨁ⷬ(⥛)) и для ⥟⟛⤿ⷬⵉⵀ
определим мно гочлен
⤽(⥛)= ⥟⢏⥃(⥛)= ◎ ⥟ⷧ⨁ⷧ(⥛) ⷬⷧⵋⴿ .
Фиксируем точку ⥛⏔⟛⤿ и рассмотрим
экстремальную задачу
⥟⥃㏼(⥛)❧ ⥌⥟⥛⥙ ⏬
✬⥟⥃ (⥛)✬≤ ╾⏯ (2)
Те ⥟⟛⤿ⷬⵉⵀ, которые удовлетвор яют
неравенству (2), называются допустимыми точками
задачи; заметим, множество допустимых точек
непусто (например,x=0), замкнуто, выпукло и
симметрично. Последнее означает, что наряду с ⓣ и
⽑х является до пустимой то чкой. Это позволяет
ограничиться изучением свойств задачи
⥟⥃㏼(⥛)❧ ⥔⥐⥕ ⏬
✬⥟⥃ (⥛)✬≤ ╾⏬ (3)
являющейся задачей выпуклого
программирования с условием Слейтера, [9].
Теорема 1. Допустимая точка ⥟⿯⟛⤿ⷬⵉⵀ будет
решением задачи (3) тогда и только тогда когда
существуют:
- натуральное число ⥙,
- точки ⥛ⵀ<⏯⏯⏯< ⥛ⷰ отрезка [⥈⏬⥉],
- числа ⥊ⵀ⏬⏯⏯⏯⏬⥊ⷰ, обладающие свойствами:
␌⥟⿯⥃(⥛ⷧ)␌= ╾, ⥐= ╾⏬⏯⏯⏯⏬⥙, (1.1)
⥀⥐⥎⥕ ⥊ⷧ= ⽑⤽⿳(⥛ⷧ), ⥐= ╾⏬⏯⏯⏯⏬⥙ (1.2)
и для любого ⥟⟛⤿ⷬⵉⵀ:
⥟⢏⥃㏼(⥛)= ◎ ⥊ⷧ⥟⥃ (⥛ⷧ) ⷰⷧⵋⵀ . (1.3)
Доказательство сводится к применению
теор емы Куна -Таккера. Пусть для
⥎(⥟)= ⥔⥈⥟ {␌⥟⥃ (⥛)␌⽑╾⏮⥛⟛[⥈⏬⥉]} и для
⧮> ╽ ⤹⸝(⥟) - функция Лагранжа:
⤹⸝(⥟)= ⥟⥃′(⥛⏔)⽐⧮⥎ (⥟).

Национальная ассоциация ученых ( НАУ) # 50 , 201 9 51
Утверждение о том, что ⥟⿯ есть решение задачи
равносильно усл овию ╽⟛◇⤹⸝(⥟⿯), где ◇⥍(⥟)
означает субдифф еренциал, [9] функции ⥍(⥟).
Очевидно,
◇⤹⸝(⥟⿯)= ⥃㏼(⥛⏔)⽐⧮◇⥎(⥟⿯).
Известно, [9], что
◇⥎(⥟⿯)= {⥠⟛⤿ⷬⵉⵀ⏮⥠= ◎ ⧤ⷧ⥡ⷧ⥃(⥛ⷧ) ⷰⷧⵋⵀ ⏬⧤ⷧ>
╽⏬⧤ⵀ⽐⏯⏯⏯⽐⧤ⷰ= ╾⏬⥡ⷧ= ⥚⥐⥎⥕ (⥟⿯⥃(⥛ⷧ))}.
Теперь считаем ⧤ⷧ⧮⥡ⷧ= ⽑⥊ⷧ, ⥐= ╾⏬⏯⏯⏯⏬⥙. Тогда
условие ╽⟛◇⤹⸝(⥟⿯) равносильно условиям:
⥃㏼(⥛⏔)= ◎ ⓟⷧ⥃(⥛ⷧ) ⷰⷧⵋⵀ ,
что совпадает с утверждением (1.3) теоремы:
⥚⥐⥎⥕ ⓟⷧ= ⽑⥚⥐⥎⥕ (⥟⿯⥃(⥛ⷧ)), ⥐= ╾⏬⏯⏯⏯⏬⥙
и
␌⥟⿯⥃(⥛ⷧ)␌= ╾, ⥐= ╾⏬⏯⏯⏯⏬⥙.
Теорема доказана.
Значение ⥙ связано с возможностью равенства
(1.3). Докажем вспо могательную лемму
Лемма. Если система ⨁ⴿ(⥛)⏬⏯⏯⏯⏬⨁ⷬ(⥛) и ее
подсистема ⨁ⴿ(⥛)⏬⏯⏯⏯⏬⨁ⷬⵊⵀ(⥛) являются
чебышевскими, [10], то равен ство (1.3) возмо жно
только при ⥙≥ ⥕.
Доказательство . Допустим утверждение
неверно и ⥙≤ ⥕⽑╾. Если ⥙< ⥕⽑╾, то добавим к
имеющимся точкам ⥛ⵀ⏬⏯⏯⏯⏬⥛ⷰ произвольные точки
⥛ⷰⵉⵀ⏬⏯⏯⏯⏬⥛ⷬⵊⵀ и положим ⥊ⷧ= ╽ для ⥐≥ ⥙⽐╾.Тогда
⥟⥃㏼(⥛⏔)= ◎ ⓟⷧ⥟⥃(⥛ⷧ) ⷬⵊⵀⷧⵋⵀ . (*)
Для некоторого ⧷⟛[⥈⏬⥉] рассмотрим
многочлен
␻(⥛)= 㑻
㑻
⨁ⴿ(⥛ⵀ) ⏯⏯⏯ ⨁ⷬ(⥛ⵀ)
⢸ ⢸ ⢸
⨁ⴿ(⥛ⷬⵊⵀ) ⏯⏯⏯ ⨁ⷬ(⥛ⷬⵊⵀ)
⨁ⴿ(⧷) ⏯⏯⏯ ⨁ⷬ(⧷)
⨁ⴿ(⥛) ⏯⏯⏯ ⨁ⷬ(⥛)
㑻
㑻.
Счит аем ⧷≠ ⥛ⷧ, ⥐= ╾⏬⏯⏯⏯⏬⥕⽑╾.
Так ка к для чебышевской системы
опреде литель
␪(⧷)= 㑻
⨁ⴿ(⥛ⵀ) ⏯⏯⏯ ⨁ⷬⵊⵀ(⥛ⵀ)
⢸ ⢸ ⢸
⨁ⴿ(⥛ⷬⵊⵀ) ⏯⏯⏯ ⨁ⷬⵊⵀ(⥛ⷬⵊⵀ)
⨁ⴿ(⧷) ⏯⏯⏯ ⨁ⷬⵊⵀ(⧷)
㑻
не равен нулю, то ␻(⥛)⠫⛚╽и ␻(⥛ⷧ)= ╽,
⥐= ╾⏬⏯⏯⏯⏬⥕⽑╾; Φ(⧷)= ╽.
Если ⥛⏔⟛{⥛ⷧ}, то т огда ␻㏼(⥛⏔)≠ ╽. Пусть
⥛⏔⟛⛚{⥛ⷧ}. Тогда берем ⧷= ⥛⏔ и опять получим
␻㏼(⥛⏔)≠ ╽ - что противоречит равенству (*), если за
⥟ взять коэффициенты многочлена Φ(⥛).
Сформулируем основной результат, который
фактически является сле дствием доказанн ых
теоремы и леммы.
Теорема 2. Пусть с истема ⨁ⴿ(⥛)⏬⏯⏯⏯⏬⨁ⷬ(⥛) и ее
подсистема ⨁ⴿ(⥛)⏬⏯⏯⏯⏬⨁ⷬⵊⵀ(⥛) явл яются
чебышевскими. Допустимая точка ⥟⿯ будет
решением задачи
⥟⥃㏼(⥛⏔)❧ ⥔⥐⥕ ⏬
✬⥟⥃ (⥛⏔)✬≤ ╾⏬
тогда и только то гда, когда сущес твуют
натуральное ⥙, причем ⥙≥ ⥕, такие точки ⥛ⷧ отрезка
[⥈⏬⥉] и числа ⥊ⷧ, что вы полняются условия:
␌⥟⿯⥃(⥛ⷧ)␌= ╾, ⥐= ╾⏬⏯⏯⏯⏬⥙,
⥚⥐⥎⥕ ⓟⷧ= ⽑⥟⿯⥃(⥛ⷧ), ⥐= ╾⏬⏯⏯⏯⏬⥙
и для любого ⥟⟛⤿ⷬⵉⵀ
⥟⥃㏼(⥛⏔)= ◎ ⓟⷧ⥟⥃ (⥛ⷧ) ⷰⷧⵋⵀ .
Замечание 1. Предположи м, что ⨁ⴿ㏼(⥛)= ╽ и
система ⨁ⵀ㏼(⥛)⏬⏯⏯⏯⏬⨁ⷬ㏼(⥛) является также
чебышевской. Тогда числа ⥙ в теореме 2 не больше
⥕⽐╾.
Действительно, в противном случае нашлись
бы хотя бы ⥕ экстрема льных точе к многочлена
⥟⿯⥃(⥛) интервала (⥈⏬⥉) и получилось бы, что
нетривиальный многочлен ⥟⿯⥃㏼(⥛) имеет не менее ⥕
нулей, что невозможно.
Замечание 2. Если ⥙= ⥕⽐╾, то
⥟⿯⥃(⥛ⷧ)⢏⥟⿯⥃(⥛ⷧⵉⵀ)< ╽, ⥐= ╾⏬⏯⏯⏯⏬⥕⽐╾.
Действительно, если для какого -то ⥐ было бы
пр отивоположное неравенство, то такой интервал
(⥛ⷧ⏬⥛ⷧⵉⵀ) содержал бы еще одну точку экстрему ма
многочлена ⥟⿯⥃(⥛), что , в силу замечания 1,
невозможно.

Список литературы
1. Бернште йн С.Н. О наилучшем
приближении непрерывных функций посредством
мног очленов данной степени// Собр. соч., Т. I. Изд -
во АН СССР, 1952. С. 1 1-104.
2. Марков А.А. Об одном вопросе Д.И.
Менделеева // Изв. П етербургской АН, 1989, Т. 62.
С. 1 -24.
3. Стечкин С.Б. Обобщен ие некоторых
неравенств С.Н. Бернштейна// ДАН СССР, Т.60,
№9. С. 151 1-1514.
4. Марков В.А. О функциях, наименее
уклоняющихся от нуля в данн ом промежутке. СПб,
1892. 117 с.
5. Бари Н.К. Обобщение неравенс тв С.Н.
Бернштейна и А.А. Маркова //Изв. АНСССР, сер.
матем ., 1954, 18, №2. С. 159 -176.
6. Аптекарев А.И., Дро А., Калягин В.А. Об
асимптотике точных констант в неравенствах
Маркова -Бернштейна в инт егральных метриках с
классическим весом// УМН, М. 2000, Т.55, вып. 1
(331). С. 173 -174.
7. Загиров Н.Ш., Ахмадова М.А., Шам халова
Т.Н. Постоянная Маркова для весовых пространс тв
// Вестник ДГ У, №6, 2012. С. 75 -80.

52 Национальная ассоциация ученых (НАУ) # 50 , 201 9
8. Загиров Н.Ш., Гаджиева Т.Ю. Оценки
постоянной В.А. Маркова в весовом пространстве
Якоби // Вестник ДГУ, се р. Ест.н., Т33, №3, 2018. С.
54 -61.
9. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий
курс теории экстремальных задач. Изд -во МГУ,
1989. 204 с.
10. Дзядык В.К. Введение в теорию
равномерного приближения функций по линомами.
М., «Наука », 1977. 514 с.

РАЗРАБОТКА ПРОТОТИПА МОБ ИЛЬНОГО ЛАЗЕРНОГО СК АНИРУЮЩЕГО
КОМПЛЕКСА

Спирина Н.С., Спи рин В.В., Попков Е.В., Котлобай В.Н.
DOI: 10.31618/nas.2413 -5291.2019.3.50.122
Ключевые слова : Мобильный лазер ный сканер, лидар, ГНСС, мобильное картографирование, облако
точек, инерциально -измерительный блок

Введение
Мобильные лазерные с канирующие
комплексы – это новый виток эволюции в развитии
сканирующих систем. Их выгодно отличает от
статическ их сканирующих с исте м возможность
перемещения по поверхности земли и вследствие
чего сканирование протяженных объектов.
Согласно данным с сайта geo-matching .com
(агрегатор новостей в сфере лазерного
скани рования) количество поисковых запросов по
теме мобил ьного лазерного скан ирования растет,
начиная с 2016 года. Также был отмечен рост
поисковых запросов в системе Google по тематике
мобильного карто графирования, пик пришелся на
2018 год. [1] Это говорит о р астущем спросе в мире
на системы мобильного лазерног о сканирования и
усл уги, которые последние могут предоставить. В
России данная тематика развита слабо, и на данный
момент имеются только 2 произв одителя подобных
систем.
В данной статье рассматривается сп особ
построения подобной системы из отдельных
состав ляющих ее элемен тов, приводится
информация о необходимом программном
обеспечении и результатах испытаний собранной
системы.
Аппаратная часть
Мо бильные лазерные сканеры использоваться
внутри помещений и на открытой местности. В
связи с этим меняется аппар атная составляющ ая. В
данной статье рассматривается сканер, который
работает вне помещения.
В состав мобильного лазерного сканера входят
следующи е устройства:
Лазерный дальномер или лидар.
Предоставляет н абор расстояний до объектов, углы
относительно оси в ращения лидара, при которых
эти расстояния были измерены, и время. По
полученным данным можно рассчитать
координаты точек в декартовой системе ко ординат,
центром которой является центр лидара.
Навигационн ая система. Предоставляет набор
данных о местоположе нии устройства в
пространстве и качестве полученной информации:
широта, долгота, высота, среднеквадратичная
ошибка широты, долготы и высоты, коли чество
спутников на небосводе и т.п.
Инерциально -измеритель ный модуль.
Предоставляет данные о линейных ускорени ях и
угловых ско ростях мобильного лазерного сканера.
После обработки этих данных при помощи фильтра
Калмана или Маджвика получаются углы, которые
задают ориентацию сканера в пространстве (крен,
тангаж, ры ска нье). Это углы Эйлера.
Плата синхронизации. Обесп ечивает
синхрони зацию устройств 1 -3 по времени
навигационной системы и сигналу PPS .
Бортовой компьютер. Предназначен для
управления и сбора данны х с устройств 1 -3. На
бортовом компьютере запускается прогр амм ное
обеспечение, которое позволяет включать и
ост анавливать запис ь с устройств, задавать им
настройки и контролировать текущие статусы.
Схематично устройство мобильного лазерного
сканирования представлено на рис. 1.